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2018年初中数学中考名师面对面专题指导:2018年初中数学中考名师

归档日期:08-12       文本归类:葛藤岔      文章编辑:爱尚语录

  2018年初中数学中考名师面对面专题指导:2018年初中数学中考名师面对面专题指导6:最大小值类问题_数学_初中教育_教育专区。2018 年初中数学中考名师面对面专题指导 第六讲最大小值类问题 (一) 考点解析: 最值问题,也就是最大值和最小值问题,这类问题出现的试题,内容丰富,知识 点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定

  2018 年初中数学中考名师面对面专题指导 第六讲最大小值类问题 (一) 考点解析: 最值问题,也就是最大值和最小值问题,这类问题出现的试题,内容丰富,知识 点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度. 最值问题一般有三类, 一是以几何背景的最值问题,一般可以看成是运动变化的 图形在特殊位置时, 与图形有关的几何量达到最大或最小值;二是有关函数的最 值问题,如一次函数、反比例函数和二次函数;三是实际背景问题,来求最优化 问题. 关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题化归与转化为相 应的数学模型(函数增减性、线段公理、三角形三边关系等)进行分析与突破 (二)考点训练 考点 1:线段之和最值问题 【典型例题】 : (2017 贵州安顺)如图所示,正方形 ABCD 的边长为 6,△ABE 是 等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 的和最 小,则这个最小值为 6 . 【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;KK:等边三角形的性质;LE:正方形的性 质. 【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称,所以连接 BD,与 AC 的交点即为 P 点.此 时 PD+PE=BE 最小, 而 BE 是等边△ABE 的边, BE=AB, 由正方形 ABCD 的边长为 6, 可求出 AB 的长,从而得出结果. 【解答】解:设 BE 与 AC 交于点 P,连接 BD, ∵点 B 与 D 关于 AC 对称, ∴PD=PB, ∴PD+PE=PB+PE=BE 最小. 即 P 在 AC 与 BE 的交点上时,PD+PE 最小,为 BE 的长度; ∵正方形 ABCD 的边长为 6, ∴AB=6. 又∵△ABE 是等边三角形, ∴BE=AB=6. 故所求最小值为 6. 故答案为:6. 【变式训练】 : (2017 毕节)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点,E,F 分别是 AD,AC 上的动点,则 CE+EF 的最小值为( ) A. B. C. D.6 【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;KF:角平分线的性质. 【分析】依据勾股定理可求得 AB 的长,然后在 AB 上取点 C′,使 AC′=AC,过 点 C′作 C′F⊥AC,垂足为 F,交 AD 与点 E,先证明 C′E=CE,然后可得到 CE+EF=C′E+EF, 然后依据垂直线段最短可知当点 C′F⊥AC 时, CE+EF 有最小值, 最后利用相似三角形的性质求解即可. 【解答】解:如图所示:在 AB 上取点 C′,使 AC′=AC,过点 C′作 C′F⊥AC, 垂足为 F,交 AD 与点 E. 在 Rt△ABC 中,依据勾股定理可知 BA=10. ∵AC=AC′,∠CAD=∠C′AD,AE=C′E, ∴△AEC≌△AEC′. ∴CE=EC′. ∴CE+EF=C′E+EF. ∴当 C′F⊥AC 时,CE+EF 有最小值. ∵C′F⊥AC,BC⊥AC, ∴C′F∥BC. ∴△AFC′∽△ACB. ∴ = ,即 = ,解得 FC′= . 故选:C. 考点 2:线段之差或线段最值问题 【典型例题】 : (2017.湖南怀化) 如图, 在菱形 ABCD 中, ∠ABC=120°, AB=10cm, 点 P 是这个菱形内部或边上的一点. 若以 P, B, C 为顶点的三角形是等腰三角形, 则 P,A(P,A 两点不重合)两点间的最短距离为 10 ﹣10 cm. 【考点】L8:菱形的性质;KH:等腰三角形的性质. 【分析】分三种情形讨论①若以边 BC 为底.②若以边 PB 为底.③若以边 PC 为 底.分别求出 PD 的最小值,即可判断. 【解答】解:连接 BD,在菱形 ABCD 中, ∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10, ∴∠A=∠C=60°, ∴△ABD,△BCD 都是等边三角形, ①若以边 BC 为底,则 BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意, 此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”, 即当 点 P 与点 D 重合时,PA 最小,最小值 PA=10; ②若以边 PB 为底,∠PCB 为顶角时,以点 C 为圆心,BC 长为半径作圆,与 AC 相交于一点,则弧 BD(除点 B 外)上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形,当点 P 在 AC 上时,AP 最小,最小值为 10 ﹣10; ③若以边 PC 为底,∠PBC 为顶角,以点 B 为圆心,BC 为半径作圆,则弧 AC 上的 点 A 与点 D 均满足△PBC 为等腰三角形,当点 P 与点 A 重合时,PA 最小,显然不 满足题意,故此种情况不存在; 综上所述,PD 的最小值为 10 故答案为:10 ﹣1. ﹣10(cm) ; 【变式训练】 : ( 2017 湖南怀化)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=120°,AB=10cm,点 P 是这个 菱形内部或边上的一点.若以 P,B,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则 P,A (P,A 两点不重合)两点间的最短距离为 10 ﹣10 cm. 【考点】L8:菱形的性质;KH:等腰三角形的性质. 【分析】分三种情形讨论①若以边 BC 为底.②若以边 PB 为底.③若以边 PC 为 底.分别求出 PD 的最小值,即可判断. 【解答】解:连接 BD,在菱形 ABCD 中, ∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10, ∴∠A=∠C=60°, ∴△ABD,△BCD 都是等边三角形, ①若以边 BC 为底,则 BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意, 此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”, 即当 点 P 与点 D 重合时,PA 最小,最小值 PA=10; ②若以边 PB 为底,∠PCB 为顶角时,以点 C 为圆心,BC 长为半径作圆,与 AC 相交于一点,则弧 BD(除点 B 外)上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形,当点 P 在 AC 上时,AP 最小,最小值为 10 ﹣10; ③若以边 PC 为底,∠PBC 为顶角,以点 B 为圆心,BC 为半径作圆,则弧 AC 上的 点 A 与点 D 均满足△PBC 为等腰三角形,当点 P 与点 A 重合时,PA 最小,显然不 满足题意,故此种情况不存在; 综上所述,PD 的最小值为 10 故答案为:10 ﹣1. ﹣10(cm) ; 方法归纳总结: 点 P 为任意一点时,要探究 PA-PB 的最大值,可数形结合,将其转化为相关图 形(三角形), 三边关系始终满足两边之差小于第三边(PA-PB︱AB), 而当点 A, B,P 在同一直线上时存在 PA-PB=AB,此时 AB 为最大值,今后有关两线段之 差的最大值问题,常借助“三角形两边之差小于第三边” ,将其最大值转化为一 条特殊(三点共线:表面展开最值问题 【典型例题】 :我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈, 周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如 图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为 20 尺,底面 周长为 3 尺,有葛藤自点 A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点 B 处,则问 题中葛藤的最短长度是 25 尺. 【分析】这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开 后可转化下图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出. 【解答】解:如图,一条直角边(即枯木的高)长 20 尺, 另一条直角边长 5×3=15(尺) , 因此葛藤长为 故答案为:25. =25(尺) . 方法归纳总结: 平面展开最短路径问题, 关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形 后为直角三角形按照勾股定理可求出解. 考点 4:图形周长最值问题 【典型例题】 : ( 2017. 湖南怀化)如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线 与 x 轴交于 A(﹣1,0) ,B(5,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线)若点 D 是 y 轴上的一点,且以 B,C,D 为顶点的三角形与△ABC 相似,求 点 D 的坐标; (3)如图 2,CE∥x 轴与抛物线相交于点 E,点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动 点,过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC,CE 分别交于点 F,G,试探究当点 H 运动 到何处时,四边形 CHEF 的面积最大,求点 H 的坐标及最大面积; (4)若点 K 为抛物线,m)是该抛物线上的一点,在 x 轴,y 轴上分别找点 P,Q,使四边形 PQKM 的周长最小,求出点 P,Q 的坐标. 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】 (1)根据待定系数法直接抛物线)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标; (3)先求出直线 BC 的解析式,进而求出四边形 CHEF 的面积的函数关系式,即 可求出最大值; (4)利用对称性找出点 P,Q 的位置,进而求出 P,Q 的坐标. 【解答】解: (1)∵点 A(﹣1,0) ,B(5,0)在抛物线 上, ∴ ∴ , , ∴抛物线, ∴C(0,﹣5) , ∴OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∴AB=6,BC=5 , 或 , 要使以 B,C,D 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有 ①当 CD=AB=6, ∴D(0,1) , 时, ②当 ∴ ∴CD= , 时, , ∴D(0, ) , ) ; 即:D 的坐标为(0,1)或(0, (3)设 H(t,t2﹣4t﹣5) , ∵CE∥x 轴, ∴点 E 的纵坐标为﹣5, ∵E 在抛物线) , ∴CE=4, ∵B(5,0) ,C(0,﹣5) , ∴直线 BC 的解析式为 y=x﹣5, ∴F(t,t﹣5) , ∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣ )2+ ∵CE∥x 轴,HF∥y 轴, ∴CE⊥HF, ∴S 四边形 CHEF= CE?HF=﹣2(t﹣ )2+ 当 t= 时,四边形 CHEF 的面积最大为 , . , (4)如图 2,∵K 为抛物线) , ∴K 关于 y 轴的对称点 K(﹣2,﹣9) , ∵M(4,m)在抛物线) , ∴点 M 关于 x 轴的对称点 M(4,5) , ∴直线;的解析式为 y= x﹣ ∴P( ,0) ,Q(0,﹣ ) . , 【变式训练】 : ( 2017 湖南怀化)如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线 与 x 轴交于 A(﹣1,0) ,B(5,0)两点,与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线)若点 D 是 y 轴上的一点,且以 B,C,D 为顶点的三角形与△ABC 相似,求 点 D 的坐标; (3)如图 2,CE∥x 轴与抛物线相交于点 E,点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动 点,过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC,CE 分别交于点 F,G,试探究当点 H 运动 到何处时,四边形 CHEF 的面积最大,求点 H 的坐标及最大面积; (4)若点 K 为抛物线,m)是该抛物线上的一点,在 x 轴,y 轴上分别找点 P,Q,使四边形 PQKM 的周长最小,求出点 P,Q 的坐标. 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】 (1)根据待定系数法直接抛物线)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标; (3)先求出直线 BC 的解析式,进而求出四边形 CHEF 的面积的函数关系式,即 可求出最大值; (4)利用对称性找出点 P,Q 的位置,进而求出 P,Q 的坐标. 【解答】解: (1)∵点 A(﹣1,0) ,B(5,0)在抛物线 上, ∴ ∴ , , ∴抛物线, ∴C(0,﹣5) , ∴OC=OB, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∴AB=6,BC=5 , 或 , 要使以 B,C,D 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有 ①当 时, CD=AB=6, ∴D(0,1) , ②当 ∴ ∴CD= , ) , ) ; 时, , ∴D(0, 即:D 的坐标为(0,1)或(0, (3)设 H(t,t2﹣4t﹣5) , ∵CE∥x 轴, ∴点 E 的纵坐标为﹣5, ∵E 在抛物线) , ∴CE=4, ∵B(5,0) ,C(0,﹣5) , ∴直线 BC 的解析式为 y=x﹣5, ∴F(t,t﹣5) , ∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣ )2+ ∵CE∥x 轴,HF∥y 轴, ∴CE⊥HF, ∴S 四边形 CHEF= CE?HF=﹣2(t﹣ )2+ 当 t= 时,四边形 CHEF 的面积最大为 , . , (4)如图 2,∵K 为抛物线) , ∴K 关于 y 轴的对称点 K(﹣2,﹣9) , ∵M(4,m)在抛物线) , ∴点 M 关于 x 轴的对称点 M(4,5) , ∴直线;的解析式为 y= x﹣ ∴P( ,0) ,Q(0,﹣ ) . , 考点 5:函数最值问题 【典型例题】 : (2017 贵州安顺)如图甲,直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、 点 C, 经过 B、 C 两点的抛物线+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A, 顶点为 P. (1)求该抛物线)在该抛物线的对称轴上是否存在点 M,使以 C,P,M 为顶点的三角形为等 腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理 由; (3)当 0<x<3 时,在抛物线上求一点 E,使△CBE 的面积有最大值(图乙、丙 供画图探究) . 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】 (1)由直线解析式可求得 B、C 坐标,利用待定系数法可求得抛物线)由抛物线解析式可求得 P 点坐标及对称轴,可设出 M 点坐标,表示出 MC、 MP 和 PC 的长,分 MC=MP、MC=PC 和 MP=PC 三种情况,可分别得到关于 M 点坐标 的方程,可求得 M 点的坐标; (3)过 E 作 EF⊥x 轴,交直线 BC 于点 F,交 x 轴于点 D,可设出 E 点坐标,表 示出 F 点的坐标,表示出 EF 的长,进一步可表示出△CBE 的面积,利用二次函 数的性质可求得其取得最大值时 E 点的坐标. 【解答】解: (1)∵直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C, ∴B(3,0) ,C(0,3) , 把 B、C 坐标代入抛物线解析式可得 ∴抛物线, ∴抛物线,3) , ∴MC= = ,MP=t+1,PC= =2 , ,解得 , ∵△CPM 为等腰三角形, ∴有 MC=MP、MC=PC 和 MP=PC 三种情况, ①当 MC=MP 时,则有 =t+1,解得 t= ,此时 M(2, ) ; ②当 MC=PC 时, 则有 此时 M(2,7) ; ③当 MP=PC 时,则有t+1=2 ﹣1+2 )或(2,﹣1﹣2 =2 , 解得 t=﹣1 (与 P 点重合, 舍去) 或 t=7, ,解得 t=﹣1+2 ) ; 或 t=﹣1﹣2 ,此时 M(2, 综上可知存在满足条件的点 M,其坐标为(2, )或(2,7)或(2,﹣1+2 或(2,﹣1﹣2 ) ; ) (3)如图,过 E 作 EF⊥x 轴,交 BC 于点 F,交 x 轴于点 D, 设 E(x,x2﹣4x+3) ,则 F(x,﹣x+3) , ∵0<x<3, ∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x, ∴S△CBE=S△EFC+S△EFB= EF?OD+ EF?BD= EF?OB= ×3(﹣x2+3x)=﹣ (x﹣ )2+ , ∴当 x= 时,△CBE 的面积最大,此时 E 点坐标为( , ) , 即当 E 点坐标为( , )时,△CBE 的面积最大. 【变式训练】 : (2017 毕节) 如图, 在平面直角坐标系中, 二次函数的图象交坐标轴于 A (﹣1, 0) ,B(4,0) ,C(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线)求这个二次函数的解析式; (2)是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点 坐标;若不存在,请说明理由; (3)动点 P 运动到什么位置时,△PBC 面积最大,求出此时 P 点坐标和△PBC 的最大面积. 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】 (1)由 A、B、C 三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线)由题意可知点 P 在线段 OC 的垂直平分线上,则可求得 P 点纵坐标,代入抛 物线解析式可求得 P 点坐标; (3)过 P 作 PE⊥x 轴,交 x 轴于点 E,交直线 BC 于点 F,用 P 点坐标可表示出 PF 的长,则可表示出△PBC 的面积,利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最 大值及 P 点的坐标. 【解答】解: (1)设抛物线+bx+c, 把 A、B、C 三点坐标代入可得 ∴抛物线)作 OC 的垂直平分线 DP,交 OC 于点 D,交 BC 下方抛物线, ,解得 , ∴PO=PD,此时 P 点即为满足条件的点, ∵C(0,﹣4) , ∴D(0,﹣2) , ∴P 点纵坐标为﹣2, 代入抛物线, 解得 x= ∴存在满足条件的 P 点,其坐标为( (3)∵点 P 在抛物线上, ∴可设 P(t,t2﹣3t﹣4) , 过 P 作 PE⊥x 轴于点 E,交直线 BC 于点 F,如图 2, (小于 0, 舍去) 或 x= , ,﹣2) ; ∵B(4,0) ,C(0,﹣4) , ∴直线 BC 解析式为 y=x﹣4, ∴F(t,t﹣4) , ∴PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t, ∴S△PBC=S△PFC+S△PFB= PF?OE+ PF?BE= PF?(OE+BE)= PF?OB= (﹣t2+4t)×4= ﹣2(t﹣2)2+8, ∴当 t=2 时,S△PBC 最大值为 8,此时 t2﹣3t﹣4=﹣6, ∴当 P 点坐标为(2,﹣6)时,△PBC 的最大面积为 8. (三)考点检测 1. (2017 内蒙古赤峰)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交 x 轴于 A、 B 两点,交 y 轴于点 D,点 B 的坐标为(3,0) ,顶点 C 的坐标为(1,4) . (1)求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式; (2)点 P 是直线 BD 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 M,当 点 P 在第一象限时,求线段 PM 长度的最大值; (3)在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q,使△BDQ 中 BD 边上的高为 2 若存在求出点 Q 的坐标;若不存在请说明理由. 【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】 (1)可设抛物线解析式为顶点式,由 B 点坐标可求得抛物线的解析式, 则可求得 D 点坐标,利用待定系数法可求得直线)设出 P 点坐标,从而可表示出 PM 的长度,利用二次函数的性质可求得其最 大值; (3)过 Q 作 QG∥y 轴,交 BD 于点 G,过 Q 和 QH⊥BD 于 H,可设出 Q 点坐标,表 示出 QG 的长度,由条件可证得△DHG 为等腰直角三角形,则可得到关于 Q 点坐 标的方程,可求得 Q 点坐标. 【解答】解: (1)∵抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4) , ∴可设抛物线解析式为 y=a(x﹣1)2+4, ∵点 B(3,0)在该抛物线, ∴抛物线解析式为 y=﹣(x﹣1)2+4,即 y=﹣x2+2x+3, ∵点 D 在 y 轴上,令 x=0 可得 y=3, ∴D 点坐标为(0,3) , ∴可设直线 BD 解析式为 y=kx+3, 把 B 点坐标代入可得 3k+3=0,解得 k=﹣1, ? ∴直线 BD 解析式为 y=﹣x+3; (2)设 P 点横坐标为 m(m>0) ,则 P(m,﹣m+3) ,M(m,﹣m2+2m+3) , ∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣ )2+ , ∴当 m= 时,PM 有最大值 ; (3)如图,过 Q 作 QG∥y 轴交 BD 于点 G,交 x 轴于点 E,作 QH⊥BD 于 H, 设 Q(x,﹣x2+2x+3) ,则 G(x,﹣x+3) , ∴QG=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x, ∵△BOD 是等腰直角三角形, ∴∠DBO=45°, ∴∠HGQ=∠BGE=45°, 当△BDQ 中 BD 边上的高为 2 ∴QG= ×2 =4, 时,即 QH=HG=2 , ∴﹣x2+3x=4, 当﹣x2+3x=4 时,△=9﹣16<0,方程无实数根, 当﹣x2+3x=﹣4 时,解得 x=﹣1 或 x=4, ∴Q(﹣1,0)或(4,﹣5) , 综上可知存在满足条件的点 Q,其坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5) . 2. (2017 哈尔滨)威丽商场销售 A,B 两种商品,售出 1 件 A 种商品和 4 件 B 种商品所得利润为 600 元,售出 3 件 A 种商品和 5 件 B 种商品所得利润为 1100 元. (1)求每件 A 种商品和每件 B 种商品售出后所得利润分别为多少元; (2)由于需求量大,A、B 两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进 A、B 两种商品共 34 件.如果将这 34 件商品全部售完后所得利润不低于 4000 元,那 么威丽商场至少需购进多少件 A 种商品? 【考点】C9:一元一次不等式的应用;9A:二元一次方程组的应用. 【分析】 (1)设 A 种商品售出后所得利润为 x 元,B 种商品售出后所得利润为 y 元. 由售出 1 件 A 种商品和 4 件 B 种商品所得利润为 600 元,售出 3 件 A 种商品 和 5 件 B 种商品所得利润为 1100 元建立两个方程, 构成方程组求出其解就可以; (2)设购进 A 种商品 a 件,则购进 B 种商品(34﹣a)件.根据获得的利润不低 于 4000 元,建立不等式求出其解就可以了. 【解答】解: (1)设 A 种商品售出后所得利润为 x 元,B 种商品售出后所得利润 为 y 元.由题意,得 , 解得: 答:A 种商品售出后所得利润为 200 元,B 种商品售出后所得利润为 100 元. (2)设购进 A 种商品 a 件,则购进 B 种商品(34﹣a)件.由题意,得 200a+100(34﹣a)≥4000, 解得:a≥6 答:威丽商场至少需购进 6 件 A 种商品. 3. (2017 黑龙江鹤岗)如图,边长为 4 的正方形 ABCD,点 P 是对角线 BD 上一 动点,点 E 在边 CD 上,EC=1,则 PC+PE 的最小值是 5 . 【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;LE:正方形的性质. 【分析】连接 AC、AE,由正方形的性质可知 A、C 关于直线 BD 对称,则 AE 的长 即为 PC+PE 的最小值,再根据勾股定理求出 AE 的长即可. 【解答】解:连接 AC、AE, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴A、C 关于直线 BD 对称, ∴AE 的长即为 PC+PE 的最小值, ∵CD=4,CE=1, ∴DE=3, 在 Rt△ADE 中, ∵AE= = =5, ∴PC+PE 的最小值为 5. 故答案为:5. 4. (2017 浙江湖州)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥 技术优势,一次性收购了 20000kg 淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每 天放养的费用相同, 放养 10 天的总成本为 30.4 万元; 放养 20 天的总成本为 30.8 万元(总成本=放养总费用+收购成本) . (1)设每天的放养费用是 a 万元,收购成本为 b 万元,求 a 和 b 的值; (2)设这批淡水鱼放养 t 天后的质量为 m(kg) ,销售单价为 y 元/kg.根据以 往经验可知:m 与 t 的函数关系为 关系如图所示. ①分别求出当 0≤t≤50 和 50<t≤100 时,y 与 t 的函数关系式; ②设将这批淡水鱼放养 t 天后一次性出售所得利润为 W 元,求当 t 为何值时,W 最大?并求出最大值. (利润=销售总额﹣总成本) ;y 与 t 的函数 【考点】HE:二次函数的应用. 【分析】 (1)由放养 10 天的总成本为 30.4 万元;放养 20 天的总成本为 30.8 万元可得答案; (2)①分 0≤t≤50、50<t≤100 两种情况,结合函数图象利用待定系数法求解 可得; ②就以上两种情况,根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式,依据一 次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得. 【解答】解: (1)由题意,得: 解得 , , 答:a 的值为 0.04,b 的值为 30; (2)①当 0≤t≤50 时,设 y 与 t 的函数解析式为 y=k1t+n1, 将(0,15) 、 (50,25)代入,得: , 解得: , ∴y 与 t 的函数解析式为 y= t+15; 当 50<t≤100 时,设 y 与 t 的函数解析式为 y=k2t+n2, 将点(50,25) 、代入,得: , 解得: , ∴y 与 t 的函数解析式为 y=﹣ ②由题意,当 0≤t≤50 时, W=20000( t+15)﹣=3600t, ∵3600>0, t+30; ∴当 t=50 时,W 最大值=180000(元) ; 当 50<t≤100 时,W=(﹣ t+30)﹣ =﹣10t2+1100t+150000 =﹣10(t﹣55)2+180250, ∵﹣10<0, ∴当 t=55 时,W 最大值=180250(元) , 综上所述,放养 55 天时,W 最大,最大值为 180250 元. 5. (2017 广东)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形 ABCO 是矩形, 点 A,C 的坐标分别是 A(0,2)和 C(2 ,0) ,点 D 是对角线 AC 上一动点(不 与 A,C 重合) ,连结 BD,作 DE⊥DB,交 x 轴于点 E,以线段 DE,DB 为邻边作矩 形 BDEF. (1)填空:点 B 的坐标为 (2 ,2) ; (2)是否存在这样的点 D,使得△DEC 是等腰三角形?若存在,请求出 AD 的长 度;若不存在,请说明理由; (3)①求证: = ; ②设 AD=x, 矩形 BDEF 的面积为 y, 求 y 关于 x 的函数关系式 (可利用①的结论) , 并求出 y 的最小值. 【考点】SO:相似形综合题. 【分析】 (1)求出 AB、BC 的长即可解决问题; (2)存在.连接 BE,取 BE 的中点 K,连接 DK、KC.首先证明 B、D、E、C 四点 共圆, 可得∠DBC=∠DCE, ∠EDC=∠EBC, 由 tan∠ACO= = , 推出∠ACO=30°, ∠ACD=60°由△DEC 是等腰三角形,观察图象可知,只有 ED=EC,推出∠DBC=∠ DCE=∠EDC=∠EBC=30°,推出∠DBC=∠BCD=60°,可得△DBC 是等边三角形,推 出 DC=BC=2,由此即可解决问题; (3)①由(2)可知,B、D、E、C 四点共圆,推出∠DBC=∠DCE=30°,由此即 可解决问题; ②作 DH⊥AB 于 H.想办法用 x 表示 BD、DE 的长,构建二次函数即可解决问题; 【解答】解: (1)∵四边形 AOCB 是矩形, ∴BC=OA=2,OC=AB=2 ∴B(2 ,2) . ,2) . ,∠BCO=∠BAO=90°, 故答案为(2 (2)存在.理由如下: 连接 BE,取 BE 的中点 K,连接 DK、KC. ∵∠BDE=∠BCE=90°, ∴KD=KB=KE=KC, ∴B、D、E、C 四点共圆, ∴∠DBC=∠DCE,∠EDC=∠EBC, ∵tan∠ACO= = , ∴∠ACO=30°,∠ACB=60° ①如图 1 中,△DEC 是等腰三角形,观察图象可知,只有 ED=EC, ∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°, ∴∠DBC=∠BCD=60°, ∴△DBC 是等边三角形, ∴DC=BC=2, 在 Rt△AOC 中,∵∠ACO=30°,OA=2, ∴AC=2AO=4, ∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2. ∴当 AD=2 时,△DEC 是等腰三角形. ②如图 2 中,∵△DCE 是等腰三角形,易知 CD=CE,∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°, ∴∠ABD=∠ADB=75°, ∴AB=AD=2 , . 综上所述,满足条件的 AD 的值为 2 或 2 (3)①由(2)可知,B、D、E、C 四点共圆, ∴∠DBC=∠DCE=30°, ∴tan∠DBE= ∴ = . , ②如图 2 中,作 DH⊥AB 于 H. 在 Rt△ADH 中,∵AD=x,∠DAH=∠ACO=30°, ∴DH= AD= x,AH= ∴BH=2 ﹣ x, = , [ ]2= (x2﹣6x+12) , , = x, 在 Rt△BDH 中,BD= ∴DE= BD= ? ∴矩形 BDEF 的面积为 y= 即 y= ∴y= ∵ x2﹣2 x+4 , , (x﹣3)2+ >0, ∴x=3 时,y 有最小值 6. 如图,直线 y=﹣ . x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点,点 A 在 x 轴上, ∠ACB=90°,抛物线)求 A、B 两点的坐标; (2)求抛物线的解析式; 经过 A,B 两点. (3)点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点,过点 M 作 MH⊥BC 于点 H,作 MD∥y 轴交 BC 于点 D,求△DMH 周长的最大值. 【分析】 (1)由直线解析式可求得 B、C 坐标,在 Rt△BOC 中由三角函数定义可 求得∠OCB=60°, 则在 Rt△AOC 中可得∠ACO=30°,利用三角函数的定义可求得 OA,则可求得 A 点坐标; (2)由 A、B 两点坐标,利用待定系数法可求得抛物线)由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°,在 Rt△DMH 中利用三角函数的定 义可得到 DH、MH 与 DM 的关系,可设出 M 点的坐标,则可表示出 DM 的长,从而 可表示出△DMH 的周长,利用二次函数的性质可求得其最大值. 【解答】解: (1)∵直线,OC= ∴tan∠BCO= ∴∠BCO=60°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACO=30°, ∴ =tan30°= ,即 = ,解得 AO=1, , = , x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点, ) , ∴A(﹣1,0) ; (2)∵抛物线+bx+ 经过 A,B 两点, ∴ ,解得 , ∴抛物线)∵MD∥y 轴,MH⊥BC, ∴∠MDH=∠BCO=60°,则∠DMH=30°, ∴DH= DM,MH= DM, DM= DM, ∴△DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ ∴当 DM 有最大值时,其周长有最大值, ∵点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点, ∴可设 M(t,﹣ ∴DM=﹣ ∴DM=﹣ t2+ t2+ t2+ t+ t+ t+ ) ,则 D(t,﹣ t+ ) , t2+ t=﹣ 2 (t﹣ ) + t+ ) , ) ,则 D(t,﹣ ﹣ (﹣ t+ ) =﹣ , , ∴当 t= 时,DM 有最大值,最大值为 此时 DM= × = . , 即△DMH 周长的最大值为 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、三角函数的定义、二次 函数的性质、方程思想等知识.在(1)中注意函数图象与坐标的交点的求法, 在(2)中注意待定系数法的应用,在(3)中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解题的 关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.

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